Victor Vassiliev (atlmrf) wrote,
Victor Vassiliev
atlmrf

сила науки

Ниже - реальный документ (с сокращениями), который мне как-то пришлось сочинить по поводу тяжбы между соседями.

Экспертное заключение
о плане земельного участка по адресу пос. *** ул. *** д.1 от 16.10.1994, приложенном к исковому заявлению ***

Цель данного заключения --- продемонстрировать, что

а) расчет площади участка, приводящий к значению 2423м^2, указанному на этом плане, является ошибочным и противоречит приведенным на этом же плане линейным величинам (длинам сторон участка), и

б) из этих линейных величин неопровержимо следует, что фактическая площадь участка на момент измерения при самом благоприятном для истца положении не могла превосходить величины 2408.67м^2 вместо 2423м^2, указанных на этом плане.

Таким образом, из 16м^2, составляющих предмет искового заявления, лишь 1.67м^2 могут быть отнесены на счет изменения фактических границ участка (последовавших вследствие действий соседей или иных причин), остальные же 14.33 или более м^2 объясняются расхождением между достаточно точным вычислением площади, проведенным на основании плана от 25.02.2004, приложенного к тому же заявлению (дающим ответ 2407м^2), и явно ошибочным вычислением, обосновывающим число 2423, указанное на плане от 16.10.1994. По крайней мере эти 14.33 (а
предположительно и все 16) квадратных метров никогда физически не существовали нигде, кроме явно ошибочного расчета и основанных на нем последующих документов, и вряд ли могут кем бы то ни было незаконно удерживаться.

ОПИСАНИЕ ПЛАНА И ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

Данный план представляет собой выпуклый четырехугольник со сторонами 52.30, 49.40, 55.70 и 40.20 метров, приблизительно следующей формы. [чертеж]

Для точного вычисления площади четырехугольника этих данных недостаточно, поскольку необходимо знать еще хотя бы один параметр, например один из углов или длину диагонали. Однако имеется возможность вычислить самую большую
площадь, которую только могут иметь четырехугольники с указанными сторонами. Я утверждаю и доказываю ниже, что даже эта, наиболее выгодная для истца площадь не может превосходить величины 2408.67 м^2.

Поясню это на примере. Пусть имеется четырехугольник, все стороны которого равны 3 см. Такой четырехугольник может оказаться квадратом, тогда его площадь равна 9, или ромбом наподобие [(картинка)], тогда его площадь несколько меньше. Во всяком случае, никакой четырехугольник с такими сторонами не может иметь площадь большую, чем 9 см^2.

Точно также, для любой четверки длин сторон имеется возможность найти самую большую площадь, которую могут иметь четырехугольники с такими сторонами.

Именно эту задачу мы решаем, исходя из величин сторон участка, указанных на плане от 16.10.1994.

ГРУБАЯ ОЦЕНКА

Вначале мы приведем несколько более грубую оценку, достоинством которой является ее большая простота и наглядность, и которой уже достаточно для того, чтобы убедиться в ошибочности любого вычисления, дающего число 2423.

Разделим четырехугольник диагональю на два треугольника $S_1$ и $S_2$ как указано на следующем чертеже: [(чертеж)]
Как хорошо известно, площадь треугольника не может быть больше половины произведения любых двух его сторон. В частности, площадь треугольника $S_1$ не может быть больше величины (52.3 х 49.4)/2 = 1291.81 м^2, а площадь
треугольника $S_2$ не может быть больше (55.7 х 40.2)/2 = 1119.57 м^2.

Складывая неравенства, получаем, что площадь четырехугольника не может быть больше чем 2411.38 м^2. Итак, уже из этого грубого наблюдения следует, что величина в 16 м^2 из искового заявления должна быть уменьшена почти в 4 раза.

Эта оценка может быть еще уточнена, однако это требует компьютерных вычислений, которые мы опишем в следующем разделе. Дело в том, что оба треугольника $S_1$ и $S_2$ не могут одновременно иметь максимально возможную площадь, указанную в предыдущих формулах. Действительно, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон только если этот треугольник -- прямоугольный. Если бы оба треугольника $S_1$ и $S_2$ одновременно были прямоугольными, то диагональ нашего четырехугольника являлась бы их общей гипотенузой, и по теореме Пифагора ее длина вычислялась по треугольнику $S_1$ как $\sqrt{52.3^2 +49.4^2} \approx 71.94 м$, а по треугольнику $S_2$ как $\sqrt{55.7^2 +40.2^2} \approx 68.7 м.$ Следовательно, хотя бы один из треугольников должен отклоняться от прямоугольного, что еще уменьшает их общую площадь.

КОМПЬЮТЕРНАЯ ОЦЕНКА

Из неравенства треугольника имеем, что величина диагонали $D$ в любом четырехугольнике с данными сторонами должна находиться в пределах от 15.5 до 95.9 метров, при этом вблизи крайних значений участок оказывается сильно вытянутым и явно не является оптимальным по площади. Если мы знаем длину диагонали $D$, то мы полностью знаем геометрию четырехугольника и можем точно вычислить его площадь. Мы принимаем эту длину $D$ за параметр и для каждого
значения этого параметра в промежутке от 20 до 90 метров с шагом 1 мм с помощью компьютера вычисляем площадь четырехугольника по формуле Герона, примененной к каждому треугольнику по отдельности:
$$P=(D+52.3+49.4)/2,$$ $$Q=(D+55.7+40.2)/2,$$ $$S_1=\sqrt{P(P-D)(P-52.3)(P-49.4)},$$
$$S_2=\sqrt{Q(Q-D)(Q-55.7)(Q-40.2)},$$ $$S=S_1+S_2.$$
При этом отслеживаем максимальное значение последней величины для всех значений $D$ в указанном промежутке. Полученное максимальное (то есть наиболее выгодное для истца) значение площади равно 2408.67 и достигается при значении $D=70.223$ м. При этом значения площади, превосходящие 2407 м$^2$, достигаются только в очень узком интервале значений параметра $D$ от 68.936 до 71.481 м.

ПРОГРАММА на языке Фортран, выполняющая описанное вычисление [(программа)]

Отмечу, что в действительности достаточно было бы исследовать только значения параметра $D$, находящиеся в упоминавшемся в предыдущем параграфе интервале от 68.7 до 71.94 м, однако это потребовало бы чуть большего обоснования.
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 9 comments